Matematik Bilgileri

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

2012-02-15T13:16:00.001-08:00

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denkle-min çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

a, b, c Î IR olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î IR²için sağlanıyorsa

a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

Biz burada üçünü vereceğiz.

a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.

c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

Ü ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini göz önüne alalım:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

Birinci durum:

ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

İkinci durum:

ise, bu iki doğru çakışıktır.

Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

Üçüncü durum:

ise, bu iki doğru paraleldir.

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

2012-02-15T13:15:00.005-08:00

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ

1) a = b ise, a ± c = b ± c dir.

2) a = b ise, a . c = b . c dir.

3) a = b ise,

4) a = b ise, aⁿ = bⁿ dir.

5) a = b ise,

6) (a = b ve b = c) ise, a = c dir.Ü

7) (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d

8) (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

9) (a = b ve c = d) ise,

10) a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

11) a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

12) = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

Bölme Bölünebilme

2012-02-15T13:15:00.003-08:00

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B . C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B) Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ... = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃+ 3a₄+ 2a₅) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a₀ + a₂ + a₄+ ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür. 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.

Buna göre,

₁

₂

₁

₂

₁

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür. 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir. A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır. A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur. A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir. A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

Basit Eşitsizlikler

2012-02-15T13:15:00.001-08:00

A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI

1. Kapalı Aralık

a < b olsun.

a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.

2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık

(a, b) veya a < x < b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.

ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.

B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ

1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.

a < b

a + c < b + c

a – d < b – d dir.

2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

a < b

c > 0 ise, a . c < b . c

d < 0 ise, a . d > b . d

k > 0 ise,

m < 0 ise,

3) 0 < a < b ise,

4) a < b < 0 ise,

5) a < 0 < b ise,

6) 0 < a < b ve n Î IN+ ise, aⁿ < bⁿ dir.

7) a < b < 0 ve n Î IN+ ise,	a2ⁿ > b²n
	a²ⁿ⁺¹ < b²ⁿ⁺¹

(2n : Çift doğal sayıdır.)

(2n+1 : Tek doğal sayıdır.)

8) a < b ve b < c ® a < c dir.

9) 0 < a < 1 ve n Î IN⁺ – {1} ise, aⁿ < a dır.

10) a > b

+ c > d
¾¾ ¾¾¾¾¾¾
 a + c > b + d

11) 0 < a < b

x 0 < c < d
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
 0 < a . c < b . d

12) a . b < 0 ise, a ile b zıt işaretlidir.

13) a . b > 0 ise, a ile b aynı işaretlidir.

</DIV>

BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

2012-02-15T13:13:00.001-08:00

BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

A) BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ: ÖRNEK: ifadesinin değeri nedir? ÇÖZÜM: B) BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ: ÖRNEK: limitinin değeri nedir? ÇÖZÜM: Payın derecesi paydadan büyük olduğundan ÇÖZÜMLÜ TEST 1. değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 Çözüm 1.: dır. O halde, Cevap: B 2. limitinin değeri nedir? A) B) C) D) E) Çözüm 2.: Cevap: C

BİLEŞKE FONKSİYON

2012-02-15T13:12:00.003-08:00

BİLEŞKE FONKSİYON:

f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir. ÖZELLİKLERİ: 1) fog gof 2) (fog)oh = fo(goh 3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon) 4) foI = Iof = f 5) (f-1)-1 = f 6) (fog)-1 = g-1of-1 7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1 8) fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h ÖRNEKLER: 1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir? Çözüm: (gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 ) = g(- 3) = - 3 + 1 = - 2 2. f ve g : R R’ye f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun. Çözüm: 3. f ve g : R R’ye f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir? Çözüm: (gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1 g (x) = (3x + 2) of-1 f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.

BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON

2012-02-15T13:12:00.001-08:00

BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON TANIM:

f:A B fonksiyonu hem birebir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve örten fonksiyon denir. A g B g:A B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve g(A)=B olduğundan, g fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyondur.

BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON

2012-02-15T13:11:00.001-08:00

BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON TANIM:

f:A B fonksiyonu hem birebir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve iççine fonksiyon denir. A f B f:A B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve f(A)B olduğundan, f fonksiyonu birebir ve içine fonksiyondur.

Aritmagonlar

2012-02-15T12:43:00.003-08:00

Aritmagonlar

Bu da genelleme için olasılıkların çok olduğu bir başka durumdur. Genelleşmiş sayıları somut bir temel üzerine kurarak giriş yapılmakta ve önceden belirlenmiş kurallara danışılmadan eşdeğer denklemler algılanmaktadır. Bu görev 11-12 yaş grubu öğrencileri ile yapılan çalışmalarda kullanılmıştır, fakat yaşı daha büyük olan öğrenciler, genellemeleri alarak kendilerinden yaşça küçük olanlara göre daha fazla yarar sağlayabilirler. İlk sorununuzda yapılması istenilen şey, A, B, C, D harfleri ile belirlenen daireleri doldurmaktır öyle ki, her bir kare içindeki sayı kendisi ile komşu olan iki daire içerindeki sayıların toplamına eşit olsun. Öğrenciler farklı sonuçlar elde edeceklerdir. Bu sonuçlar tahtada gösterilecektir. A B C D A E B 7 2 5 1 8 1 6 2 7 F G 3 13 3 4 0 9 3 7 3 6 C H D 9 Sorun üzerinde bir süre düşündükten sonra, artı tam sayılarla ilgileniyorsak, A ve C’nin alabileceği değerler yalnızca 0, 12 ve 3’dür. Bir genelleme oluşturmak istenirse, bunların sayısı F + 1 ya da genel olarak ifade edilirse E, F, G, H değerlerinin en küçüğünden bir fazla denilebilir. Daha sonra öğrencilere çizelgeyi oluşturan sütunlar arasında, her yatay sıra için de doğruluğu kesin olan, ne gibi ilişkiler görebildikleri sorulur. Örneğin B - C = 4 gibi, sonuçta aşağıdaki gibi bir denklem listesi ortaya çıkacaktır. B - C = 4 (1) A + B = 7 (4) A + C = 3 (7) D = A + 6 (2) A + B + C + D = 16 (5) B - 4 = C (8) C - D = 9 (3) C + 4 = B (6) Şunu anımsatmakta yarar var. A, B, C, D harfleri ilgili sütunları oluşturan öğeleri belirtmek için kullanılmaktadır. Bu sayılar, somut anlamda genelleşmiş sayılardır. Burada birtakım sorular akla gelebilir. Bu bir bütün oluţturan bir küme midir? B - C = 4, C + 4 = B, B - 4 = C denklemleri gerçekte, aynı bilginin kopyaları olduğu gerçeğini göstermektedir. Dolayısıyla bunlardan ikisini atabiliriz. B + D = 13 (9) denkleminin iptali gerçekleşebilir. Daha sonra bunlardan bazılarının diğerlerinden elde etme olasılığı gündeme getirilebilir. Örneğin (3) ve (5) denklemleri, (4)’ü gerektirir. (1) ve (3) denklemleri (9) numaralı denklemi ifade eder. Benzer örnekler çoğaltılabilir. Verilen bağıntılar kümesi içinden öyle bir minimal altküme seçilebilir ki bu minimal altkümeden kalkarak tüm bağıntılar üretilebilir. Bu şekilde, çok önemli bir matematiksel kavram olan üreten küme kavramı çok yalın bir biçimde ortaya çıkartılabilir. Ayrıca, sezgilere dayanan bir tanışıklık, verilen bir toplamsal ilişkinin olası dönüşümlerine dayanılarak kurulabilir. Bunlar da, daha ilerde denklemlerin çözümü için kurallar oluşturabilir. Aşağıda, cebirde genelleme yapmaya başlangıç oluşturmaya yönelik birtakım ifadeler yer almaktadır. Bu örneklerin benzerlerini dersinizin Bölüm 1‘deki problem setlerinde bulabilirsiniz. 1 Toplamı 1 olan iki sayı alın. Bunlardan hangisi büyüktür, büyük olan sayının karesi artı küçük olan mı, yoksa küçük olan sayının karesi artı büyük olan mı? Genelleme yapın. 2 Ardışık sayıların toplamlarından daha önce bahsedilmişti. 2’ler, 3’ler,.... şeklinde giden sonuçları genelleyin. Bu tür sayılardan 4 ya da 5 tanesini ele alın.

11 - 16 Yaşları için İngiltere öğretim programı (cebir)

2012-02-15T12:43:00.001-08:00

11 - 16 Yaşları için İngiltere öğretim programı (cebir)

Cebirle ilgili ilkeler, kuvvetli bir yapı duygusu ve sayılardaki ilişkileri ve, bilinmeyen bir niceliğin, denklemleri çözmede ve formülü değerlendirmede bir harf olarak nasıl gösterilebildiğinin anlaşılması olabilir. Öğrencilere genelleştirmeyi betimleme ve denklemleri kurma amacıyla cebirin dilini nasıl kullanacakları öğretilmelidir. Simgeleme anlayışları geliştikçe, öğrencilere simgesel ifadelerle nasıl düzenleyecekleri ve çalışma yapacakları ve bilgisayarı grafik çizici ya da hesap makinasını nasıl kullanacakları öğretilmelidir. Öğrencilerin, ve gösterdikleri ya da örnekledikleri durumlara bağlayabilmeleri için cebirsel terimleri ve grafikleri formüle etme ve yorumlama konusu üzerinde önemle durulmalıdır. Sayı örüntüleri ve çapraz bulmacalardan, sayısal ilişkiler içeren geometri problemlerinden, başka matematik dallarından (örneğin, alan ve hacimle ilgili formüllerden), ve programın öteki konularından, (örneğin, fen bilimleri gibi) matematiksel modellerin uygulanabildiği fen bilimleri gibi uygun durumlar çıkartılabilir.

Öğrencilere fonksiyonel ilişkileri anlamaları ve kullanmaları öğretilmelidir :

1 uygun olduğu yerlerde bilgisayar kullanarak çeşitli durumlardan ortaya çıkan sayı örüntülerini araştırma, sayı dizilerine ilişkin kurallar üretme yolları bulma; basit fonksiyonları simgesel olarak ifade etme ve bunları grafik ya da çizelge biçiminde gösterme,

2 gerçek hayat’a ilişkin durumları betimleyen grafikleri yorumlama,

3 standart matematiksel fonksioynların (doğrusal, ikinci dereceden, doğru ya da ters orantı içeren fonksiyonlardan başlayıp polinom, üstel ve trigonometrik fonksiyonlara gelişen çizgide özelliklerini araştırma; bunların çizelgelerini ve grafiklerini yorumlama (grafiklerini çizmek gibi), bunların davranışlarını

anlamak için grafik hesap makinaları ve bilgisayarları kullanma,

4 özel durumları örneklemek ve sorunları çözmek amacıyla veri kümelerine uyan matematiksel fonksiyonları seçme.

Öğrencilere denklemleri ve formülleri anlamaları öğretilmelidir:

1 uygun olduğu yerlerde bilgisayar ve hesap makinaları kullanarak matematiğe diğer konulara, ya da gerçek olaylara ilişkin sözcük veya simgelerle verilmiş formül ve ifadeleri kurma, yorumlama ve değerlendirme;

2 uygun olduğunda, hesap makinası kullanarak giderek artan karmaşıklıktaki cebirsel ifadeleri işlemleme ve değerlendirme,

3 özel bir takım sorunları çözmek için denklemler ya da eşitsizlikler oluşturma,

4 ilgili sorun için en uygun yöntemi seçerek, deneme ve düzeltme, cebir ve grafik yöntemlerini kullanarak, eşitsizliklere, ikinci dereceden denklemlere ve daha yüksek basamaktan polinom denklemlerine doğru ilerleyen bir dizi doğrusal denklemleri ve basit doğrusal eşzamanlı denklemleri çözme.

Ek araç - gereçler

Yukarıda olduğu gibi matematiği kesin bir şekilde anladığını sergileyen öğrencilere, daha geniş bir bağlamda karmaşıklığı artan problemleri çözmeleri için bilgilerini, becerilerini ve anlamalarını uygulama olanağı tanınmalı ve onlara şunlar öğretilmelidir:

1 Özellikle ölçüm bağlamındaki sorunların olası sayısal çözümlerinin üst ve alt sınırlarını anlama,

2 Doğrusal olmayan fonksiyonlar için değişim oranını tahmin edebilmek amacıyla eğrilerde tanjant kullanma ve sonucu ifade etmek için uygun bileşik ölçülerden yararlanma,

3 Bir grafik altında kalan alanın anlamını yorumlama, ve bunu sayısal ve istatistik problemlerinin çözümüne uygulama,

4 Üslü olarak ifade edilen kökleri ve tersleri anlama ve kullanma, ve irrasyonal sayıların gerçek sayı sistemini tamladığını kavrama,

5 Grafiksel gösterimler bağlamında fonksiyonların dönüşümlerini yorumlama uygulama (sözgelişi y = f (x) ’e uygulayarak y = f (x + a), y = f (kx) ve y = f (x) + a fonksiyonlarını ele alma).

Yorumlar

Yukarıdaki çalışmaları yapıp cebir konuları ile ilgili kendi sonuçlarınızı çıkarıncaya kadar bu bölümü okumayın. Daha sonra kendi sonuçlarınızı buradaki açıklamalarla karşılaştırın.

Bazı cebir problemleri

2012-02-09T14:46:00.003-08:00

Bazı cebir problemleri

Örnek 1

a Dört basamaklı bir sayı ile aynı sayının tersinin toplamının 11’e bölünebilir olduğunu

gösterin.

b Dört ardışık sayının en büyük ve en küçük olanları çarpılır. Sonra ortadaki iki sayı çarpılır. Bu iki çarpım arasındaki farkın her zaman 2 olduğunu gösterin.

Örnek 2

a Bir kayık saatte 2 mil hızla belirli bir uzaklıktaki nehrin yukarısına doğru gidiyor, bir saat durup bekliyor ve sonra saatte 4 mil hızla geri dönüyor. Tüm geçen zaman 3,5 saattir. Her iki yönde gidilen yol ne kadardır ?

b Aynı soruyu saatte 2,6 ve 4,1 mil/saat için yineleyin.

Örnek 3

a Bir gemiyi bir saat çalıştırmanın maliyeti sabit £a ile geminin hızına (saatte V mil) bağlı £bV³ ün toplamına bağlıdır. Saatte V millik sabit hızda d millik yolculuğun toptan maliyeti £C dir. Bu durumda şunu kanıtlayın: C = d (a/V + bV²) dir.

b a = 3,3, V = 15, d = 3000 ve C = 1300 ise, b değerini iki basamağa kadar hesaplayın.

Örnek 4

2s = a + b + c ise,

(a) s (s - a) + (s - b) (s - c) = bc (b) <IMG src="file:///C:\Users\Lg\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.gif" width=168 height=47 v:shapes="_x0000_i1025">

olduğunu gösterin.

Örnek 5

PİZZA FİATLARI

Büyüklük Piza tabağının çapı Maliyet

Mini 20 cm $ 4,00

Küçük 25 cm $ 5,00

Orta 27,5 cm $ 7,50

Büyük 30,5 cm $ 8,60

Aile boyu 38 cm $ 10,50

Maliyetle çap arasındaki ilişkileri inceleyin ve bulabileceğiniz en iyi değeri tartışın.

Örnek 1 cebirin bir genellemeyi ifade etmek ve ispatlamak için nasıl kullanılabileceğini gösteriyor. Bu örnek, basamak değerleri bilgisini

1000a + 100b +10c + d + (1000d + 100c + 10b + a)

diye kullanarak problemin cebirsel olarak ifade edilmesini gerektiriyor. Bu da iki aţamada

1001 (a + d) + 110 (b+ c)

ye dönüştürülebilir. Bunun da 11 in katı olduğu kolayca kanıtlanabilir.

Sorunun ikinci bölümü ardışık sayıların n, n+1, n+2, n+3 olarak ifade edilmesini gerektirir. Bu da bizi

n(n+3) - (n+1)(n+2)

ifadesine doğru yönlendirir.

Çarpım işlemleri sonucunda buradan, n ye bağlı olmayan -2 sayısını elde ederiz.

Bu problem böylelikle cebirsel olarak formüle etmeyi, bazı iţlemleri ve sonunda sonuçların yorumunu gerektirir. Bu da genelleme yapmak için cebirin kullanılmasının tipik bir örneğidir. Ancak, sürecin tümü, genellemenin yalnızca kanıtını değil keţfini de içermektedir. Basamakları ab olan sayının 10a+b olduğu ve ardışık sayıların n, n+1,... biçiminde oldukları daha önceden öğretilmiş olmalıdır.

Örnek 2, aynı şekilde bir sorunun çözümü olarak bir değer elde etmek amacıyla denklem oluţturma ve çözme sürecinin belirgin bir örneği olsun diye verilmiţtir. Denklem

d/2 + d/4 = 5/2 dir ve

d = 3 1/3

sonucunu verir.

Bunun da sağlaması 5/3 ve 5/6 nın toplamı 5/2 yi verir diye yapılabilir (İkinci versiyon, zor sayıların cebirsel çözüm yerine sayısal çözüm girişiminin uygulanabilirliğini nasıl etkilediğini göstermek amacıyla verilmiştir. İlk versiyonun çözümü cebir kullanmadan da yapılabilirdi.)

Örnek 3 ise içinde, gerçek dünya ile iliţkili olan bir durumda iţlevsel (fonksiyonel) ilişkilerin kullanıldığı bir soru türüdür. Bunun daha kapsamlı olarak ele alınması, maliyet fonksiyonunun biçiminin varsayımını kurarak başlayabilir. Belki de gerçek ya da uygun verilerden başlanabilir. Sabit sayı b nin saptanması pekala pratik anlamda önemli bir modelleme görevinin parçası olabilir, fakat tüm etkinlikteki yeri tartışılmadan ‘bunun ne anlamı var’ sorusu gündeme gelebilir.

Fonksiyonlar konusunda daha geçerli bir görev 5. örnek olabilir. Burada çap, alan, hacim ve maliyet arasındaki fonksiyonel ilişki hakkındaki bazı varsayımların oluşturulup verilerle denetlenmesi gerekebilir.

Örnek 4, önemli fakat ana amaç olmayan, oldukça farklı bu cebirsel amaçla ilgili sorunun ortaya konması için seçilmiştir. Pek çok görev iţlemsel yetenek gerektirir, ve bu yavaş çalışıyorsa güvenilir değilse, zihinsel çaba bizi sorunun ana parçasından uzaklaştırır.

Örneğin, n-kenarlı bir düzgün çokgenin açısal büyüklüğü (2 - 4/n) dik açı olarak ifade edildiğinde ya da 23,4 = h sin 15⁰ nin yeniden düzenlenmesi gerektiğinde, geometri ve trigonometrideki görevler cebirsel temsil ve işlemlemeyi gerektirir. Gerçekten bunların koordinat geometrisi, kalkülüs, fiziksel yasaların ifadesi ve her tür nitel tasarım problemlerindeki rolleri üzerinde bir an düşünülürse, matematik çalışmalarını daha ileriye götürmek için, cebirsel dilin öğrenilmesinin kaçınılmaz olduğu açıkça ortaya çıkar ve bu düzeylerde kullanımdaki belirsizlik ya da yanılgı, daha önceki aşamalarda sayılarla uğraşmadaki yavaşlık veya belirsizlik kadar engel oluşturur. Bir ifade ya da formüldeki bir değişkenin diğerine ne derece bağımlı olduğunu görmek gibi bir ifadeyi veya formülü okumak da önemlidir ( örneğin y = x + b, ya da y = ax²; ya da V = pr²h ’de, r nin iki katı alınırsa ve h sabit hale getirilirse V ye ne olur ya da r nin iki katı alınır, V sabit hale getirilirse h ye ne olur?). Bütün bunlar matematiksel ifadelerin anlatılması için cebirin bir dil olarak ne kadar yaygın kullanıldığını örnekliyor. Fakat cebir gibi matematiksel diller, dönüşüm kurallarına (tranformational rules) sahip olmaları anlamında tektir. Bu kurallar yoluyla gerektirmeler, temsil edilen kavramlar üzerinde bilinçli bir akıl yürütme yapılmaksızın sembol kullanımyla ortaya çıkarılabilir. Gerçekten, günlük dille cebirsel dil arasındaki benzerlik daha da öteye götürülebilir. Şöyle ki, dil çok çeşitli karakteristik kullanım modlarına sahiptir - betimlemek, ifade etmek, muhakeme edilmiş yol ve ikna etmek - ve dil öğretmenlerinin şu sıralarda benimsediği gibi bunlardan her birinin öğrenci tarafından denenmesi ve geliştirilmesi gerekir. Bunlar 1., 2. ve 3. örnekte gösterilen cebirsel kullanımın üç bileţeniyle karşılaştırılabilir. Bu bileţenler cebir öğretimi programımızın bir çerçevesi olarak ele alınacaktır.

· Genelleme,

· Denklem oluţturma ve çözme,

· Fonksiyonlar ve formüllerle çalışma.

Aday öğretmenlerin yalnızca 4. örnekte gösterilen simgesel işlemlerde değil bu süreçlerin tümünde de yeterli olmaları gerekir. Ayrıca, çalışmalar bu tür uygun anlamlı etkinlikler içine yerleştirildiğinde kavramsal engeller daha az ortaya çıkacak ve bunların üstesinden daha kolay gelinecektir.

Daha sonraki etkinliklerde cebirsel etkinliğin bu üç moduyla ilgili yetenekleri geliştirecek sınıf içi görevler irdelenecektir. Fakat önce, bundan sonraki etkinlikte, şu anda var olan derslerde öğrencilerin cebir öğrenirken karşılaştıkları zorlukların doğası ve kapsamıyla ilgili araştırma bulgular gözden geçirilecektir. Hem işlemlerdeki yanılgılara hem de cebirle işlem yaparken öğrencilerin kararlarını yöneten genel stratejik beceri ve kavramlarla ilgili zorluklara bakılacaktır.

Ders programları

Üç ders programının aynı yaş grubunu kapsamadığına dikkat edin. Fakat İngiltere ve ABD programları gerçek dünya ile olan ilişkileri ve durumları gösterebilmek için cebirsel simgelerin ya da grafiklerin kullanımını ve sorunları çözmek için gösterimlerin manipülasyonunu vurgularken Türk programı daha ileri salt matematiği ele alıyor. Bunların ikisi de sorunlarda tanımlanan üç temel cebirsel etkinlik modunu içeriyor. Diğer noktalar sizin tartışmalarınızda ortaya çıkacaktır.

Cebire karşı sizin yaklaşımlarınız

Önemli bir öğretim amacının, cebire bir amaç duygusu sokmak olduğu konusunda görüş birliği içinde olunabilir. Pek çok öğrenci için cebir anlamsız bir işlemler dizisidir. Bu üç temel bileţen üzerinde yoğunlaşmak bu amaç duygusunu elde etmenize yardımcı olacaktır. Bu ders boyunca göreceğiniz diğer etkinlikler size bazı öneriler verebilir.

14 - 17 Yaşları için ABD cebir ve fonksiyonlar öğretim programları

2012-02-09T14:46:00.001-08:00

14 - 17 Yaşları için ABD cebir ve fonksiyonlar öğretim programları

(Matematik öğretmenleri milli eğitim programı ve değerlendirme standartlarından alınmıştır).

CEBİR

9-12. sınıflardaki matematik öğretim programı, için cebirsel kavram ve metodların sürekli incelenmesini kapsamalıdır.

Böylece öğrenci şunları yapabilir:

· terimler, denklemler, eşitsizlikler ve matrislerle değişken nicelikleri kapsayan durumları betimleyebilir,

· denklemleri, terimleri ve eţitsizlikleri yorumlamada çizelgeleri ve grafikleri kullanabilir,

· terimler ve matrisler üzerinde iţlem yapabilmesi, ve denklem ve eţitsizlikleri çözebilir,

· matematiksel soyutlamanın ve simgelemenin gücünü değerlendirebilir,

ve yüksek okula gitmeyi tasarlayan öğrenciler de,

· doğrusal sistemleri çözmek için matrisleri kullanabilir,

· denklemler teorisine dayalı teknikler dahil, cebirsel dönüşümlerle ilgili teknik yetenek sergileyebilir,

FONKSİYONLAR

9-12. sınıf öğrencisi:

· çeşitli fonksiyonlar aracılığıyla gerçek dünya olgularını örnekleyebilir,

· tablolar, sözlü kurallar; denklemler ve çizelgeler kullanarak iliţkileri betimleyebilir ve çözümleyebilir (analiz edebilir).

· fonksiyonların çizelge şeklinde, simgesel ve grafiksel, gösterimleri arasında çevrimler yapabilir,

· çeşitli problem durumlarının ayni fonksiyon türü ile örneklenebilineceğini kavrayabilir,

· fonksiyon grafikleri üzerindeki parametre değişmelerinin sonuçlarını analiz edebilir,

ve Yüksek okula gitmeyi tasarlayan öğrenciler de,

· fonksiyonlarla ilgili işlemleri, fonksiyonların genel nitelikleri ve davranışlarını ve sınıflarını anlayabilir.

Böylece 9-12. gruplarda matematik öğretim programı sürekli fonksiyonların incelenmesini kapsamalıdır.

Doğal Sayılar Testleri

2012-01-27T07:55:00.000-08:00

Doğal Sayılar Testleri

Sınıf: 5	Ders:Matematik
Konu:Doğal Sayılar	Soru Sayısı: 15
Testi Bitir butonuna basarak test sonuçlarınızıöğrenebilirsiniz.	www.matematikbilgileri.com

5. SINIF GENEL TEKRAR test soruları

2012-01-27T07:52:00.000-08:00

5. SINIF GENEL TEKRAR test soruları

1- 42 ile 80 arasında kaç doğal sayı vardır?

A. 39 B. 38 C.37 D. 36

2) 5ab7 sayısında a’yı 3 eksiltip b’yi 2 artırırsak sayıda

nasıl bir değişiklik olur?

A. 280 azalır B. 280 artar

C. 300 azalır. D. 300 artar

3) 23a5 sayısının basamaklarındaki rakamların toplamı

aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A.10 B. 12 C. 19 D. 20

4) ab - ba = 2c işlemine göre c doğal sayısı kaçtır?

A. 2 B. 6 C. 7 D. 8

5) A+10>30 ve B - 4>15 olduğuna göre A ile B’nin

toplamı en az kaç olabilir?

A. 41 B. 42 C. 43 D. 44

6) Sayı değerleri toplamı 9 olan ,birbirinden farklı iki

basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?

A. 5 B. 8 C. 9 D. 10

7) (a73) ve (3b5) sayılarına göre a ve b rakamlarının

basamak değerleri toplamı aşağıdakilerden hangisi

olamaz?

A. 72 B. 100 C. 400 D. 760

8) n bir doğal sayıdır.Buna göre aşağıdakilerden

hangisi daima bir çift sayıdır?

A. 2n -1 B. 2n+1

C. 2n+2 D. 4n+1

9) n bir doğal sayıdır. n + 8 < 20 olduğuna göre n yerine

gelebilecek kaç doğal sayı vardır?

A.10 B. 11 C.12 D.14

10) Aşağıdakilerden hangisi ardışık üç doğal sayının

toplamı olamaz?

A. 57 B. 75 C. 85 D. 96

11) a bir çift sayma sayısı,b ise bir tek sayma sayısı

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi bir tek sayıdır?

A. 2b+a B. a+b

C. 2b- a D. 2a+2b

12) 10’dan 28’e kadar olan ardışık çift doğal sayıların

toplamı kaçtır?

A. 44 B. 38 C. 380 D. 190

13) İki sayının toplamı 62 dir. Büyük sayının yarısı ,

küçük sayının yarısından 8 fazla olduğuna göre büyük

sayı kaçtır?

A. 78 B. 39 C. 16 D. 35

14) MN+MN+MN= 1N8 ise M kaçtır?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

15) 2a53 ve 4a8 sayılarında a’ların basamak değerleri

toplamı 440’tır. Bu sayıların toplamı kaçtır?

A. 2801 B. 2886 C. 2900 D. 2901

16) A+B =13 ise CA + CB işleminin sonucu en çok kaç olur?

A. 173 B. 193 C. 203 D. 213

17) İki basamaklı bir sayının basamaklarının yerleri

değiştirilip ilk sayı ile toplanıyor.. Toplam

aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A. 99 B. 110 C. 120 D. 132

18) AB+BA =121 olduğuna göre AB sayısı kaç olabilir?

A. 63 B. 65 C. 72 D. 84

19) A+B = 36, A+C = 40, B+C= 48 olduğuna göre A + B + C

işleminin sonucu kaçtır?

A. 58 B. 60 C. 62 D. 64

20) Bir çıkarma işleminde fark 36dır. Eksilen 16 artırılır,

çıkanı 10 eksiltirsek yeni fark kaç olur?

A.30 B. 42 C. 52 D. 62

21) Bir çıkarma işleminde fark 45 tir.Eksileni 10, çıkanı 15

eksiltirsek yeni fark kaç olur?

A. 20 B. 40 C. 50 D. 70

22) Bir çıkarma işleminde fark çıkanın 4 katıdır. Eksilen

130 olduğuna göre fark kaçtır?

A. 104 B. 102 C. 94 D. 26

23) A-B= 27; B-27= 18 olduğuna göre A kaçtır?

A. 45 B. 46 C. 71 D. 72

24) Bir çıkarma işleminde çıkan ,eksilenin yarısı kadardır.

Fark 32 olduğuna göre eksilen kaçtır?

A. 48 B. 64 C. 96 D. 128

25) Bir çıkarma işleminde eksilen ile çıkanın toplamı 102,

fark 36dır. Çıkan kaçtır?

A. 33 B.34 C. 51 D. 66

26) Bir çıkarma işleminde eksilen ile farkın toplamı 96,

çıkan 30dur.Fark kaçtır?

A.33 B.36 C. 38 D. 66

27) Bir çıkarma işleminde eksilen farkın 3 katıdır. Çıkan

66 olduğuna göre eksilen kaçtır?

A. 200 B. 105 C. 104 D. 99

28) Bir çıkarma işleminde eksileni 10 artırır, çıkanı 10

eksiltirsek farkta nasıl bir değişme olur?

A. 20 azalır B. Değişmez

C. 20 artar D. 10 artar

29) Bir çıkarma işleminde eksilen farkın 5 katıdır. Buna

göre çıkan aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A. 24 B. 36 C. 38 D. 52

30) Bir çıkarma işleminde fark 32 dir. Çıkan farkın 3

katı olduğuna göre eksilen kaçtır?

A. 96 B. 102 C. 112 D. 128