İŞLEMİN TERS ELEMAN ÖZELLİĞİ
Tanım: A kümesi
üzerinde tanımlı ∗
işleminin birim elemanı e olsun.
Herhangi bir x Î A
için x∗y
= y∗x =
e koşulunu sağlayan bir y Î A
varsa, y elemanına ∗
işlemine göre x in tersi denir. y = x-1 ile gösterilir.
Örnek: Tam sayılar kümesinde tanımlanan toplama
işlemine göre varsa (2) nin tersini bulunuz.
Toplama işleminin birim elemanı e =
0 olduğundan
2
∗ 2-1
= 0 Þ 2 + 2-1 = 0 Þ 2-1
= -2 bulunur.
Örnek: Reel sayılar
kümesi üzerinde tanımlı çarpma işlemine göre (4) ün tersini bulunuz.
Çarpma işleminin etkisiz elemanının
e = 1 olduğunu biliyoruz. Böylece
4
∗ 4-1
= 1 Þ 4.4-1 =1 Þ 4-1 = olarak elde edilir.
Örnek: Reel sayılar
kümesi üzerinde tanımlı x o y =
x+y+2xy işlemine göre 3 ün tersini
bulunuz.
Öncelikle bu işlemin birim
elemanını bulmalıyız
x ∗
e = x Þ x + e +2xe = x
Þ e + 2xe = 0
Þ
e(1 + 2x) = 0
Þ
e = 0 bulunur.
e = 0 olduğuna göre şimdi 3 elemanın tersini bulabiliriz.
3 ∗ 3-1
= 0 Þ 3 + 3-1 +
2.3.3-1 = 0
Þ 3 +
3-1 + 6.3-1 = 0
Þ 3 + 7.3-1 = 0 Þ 3-1 = olur.
Teorem: ∗, A kümesi
üzerinde tanımlı bir işlem olsun. ∗
işlemine göre bir elemanın tersi varsa en çok bir tanedir.
Örnek: A
={1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlı ∗
işleminin
tablosu yandaki gibidir. Buna göre
3-1 ve 4-1 bulunuz.
Tabloya göre ∗ işleminin
etkisiz elemanı e = 3 tür.
Bir işlemin tablosu verildiğinde
bir elemanın tersini şöyle buluyoruz. O elemanın en başta bulunduğu satırda birim
elemana kadar ilerliyoruz ve birim elemana geldliğimiz sütunun en üstündeki
eleman o elemanın tersidir. Buna göre 3-1 = 3 ve 4-1= 2
dir.
Örnek: A
={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlı o
işleminin
tablosu yanda verilmiştir. Buna
göre aşağıdaki istenenleri
bulunuz.
